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Proporções - Introdução
Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.
Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:
Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade 
é umaproporção. Assim:
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Proporção é uma igualdade entre duas razões. |
Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
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(lê-se "a está para b assim como c está para d")
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:
- b e c os meios da proporção.
- a e d os extremos da proporção.
Exemplo:
Dada a proporção 
, temos:
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.
Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36
Propriedade fundamental das proporções
Observe as seguintes proporções:
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Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120 |
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Produto dos meios = 9.20 = 180 Produto dos extremos = 4.45 = 180 |
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Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.72 = 360 |
De modo geral, temos que:
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Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
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Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. |
Aplicações da propriedade fundamental
Determinação do termo desconhecido de uma proporção
Exemplos:
- Determine o valor de x na proporção:
Solução:
5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 120
x = 24
Logo, o valor de x é 24.
- Determine o valor de x na proporção:
Solução:
5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)
5x - 15 = 8x + 4
5x - 8x = 4 + 15
-3x = 19
3x = -19
x = 
Logo, o valor de x é .
- Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.
Solução:
(aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 8 . 35
5x = 280
x = 56
Logo, o valor de x é 56.
Resolução de problemas envolvendo proporções
Exemplo:
- Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?
Solução:
A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.
Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:
Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.
(aplicando a propriedade fundamental)
1 . 2 = 0,04 . x
0,04x = 2
x = 50 m3
Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.
Quarta proporcional
Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:
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Exemplo:
- Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.
Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:
(aplicando a propriedade fundamental)
8 . x = 12 . 6
8 . x = 72
x = 9
Logo, a quarta proporcional é 9.
Proporção contínua
Considere a seguinte proporção: 
Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim:
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Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais. |
De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:
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Terceira proporcional
Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:
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Exemplo:
Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.
Solução
Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:
(aplicando a propriedade fundamental)
20 . x = 10 . 10
20x = 100
x = 5
Logo, a terceira proporcional é 5.
Propriedades das proporções
1ª propriedade:
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Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, |
Demonstração
Considere as proporções:
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Adicionando 1 a cada membro obtemos: |
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Exemplo:
- Determine x e y na proporção
, sabendo que x+y=84.
Solução:
Assim:
x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36.
Logo, x=36 e y=48.
2ª propriedade:
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Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, |
Demonstração
Considere as proporções:
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Subtraindo 1 a cada membro obtemos: |
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(Mult. os 2 membros por -1)
Exemplo:
- Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção
.
Solução:
Pela 2ª propriedade temos que:
x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30.
Logo, x=30 e y=12.
3ª propriedade:
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Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, |
Demonstração
Considere a proporção:
Permutando os meios, temos:
Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:
Permutando os meios, finalmente obtemos:
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4ª propriedade:
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Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, |
Demonstração
Considere a proporção:
Permutando os meios, temos:
Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:
Permutando os meios, finalmente obtemos:
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Exemplo:
- Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção
.
Solução:
Pela 4ª propriedade, temos que:
5ª propriedade:
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Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, |
Demonstração
Considere a proporção:
Multiplicando os dois membros por 
, temos:
Assim:
Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo:
Exercícios de Proporções
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Resolva as seguintes proporções: a) c) e) g)
h) Sabendo que x + y = 42, determine x e y na proporção
i) Sabendo que a + b = 55, determine a e b na proporção
j) A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está para a idade do filho, assim como 7 está para 2. Determine a idade do pai e do filho.
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b) 
d) 
f) 
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