Função inversa

A função inversa ${displaystyle g}$ de uma função real de variável real ${displaystyle f}$ obtém-se de ${displaystyle f}$ por uma simetria em relação à recta ${displaystyle y=x}$.

Em matemática, a função inversa de uma função ${displaystyle f:X ightarrow Y}$ é, quando existe, a função ${displaystyle f^{-1}:Y ightarrow X}$ tal que ${displaystyle fcirc f^{-1}=mathrm {id} _{Y}}$ e ${displaystyle f^{-1}circ f=mathrm {id} _{X}}$ (id=função identidade). Ou seja, o que era domínio na função original (o conjunto ${displaystyle X}$ neste caso, ilustrado na figura abaixo) vira imagem na função inversa, e o que era imagem na função original (${displaystyle Y}$, neste caso - ilustrado na figura abaixo) vira domínio.

Uma função que tenha inversa diz-se invertível. Se uma função for invertível, então tem uma única inversa. Uma condição necessária e suficiente para que uma função seja invertível é que seja bijectiva^[1].

Se ${displaystyle f:X o Y}$ for uma função injectiva de ${displaystyle X}$ em ${displaystyle Y}$, então ${displaystyle f}$ é também uma função bijectiva de ${displaystyle X}$ em ${displaystyle f(X)}$. Consequentemente, tem uma inversa de ${displaystyle f(X)}$ em ${displaystyle X}$. Por abuso de linguagem, também se designa esta função por inversa de ${displaystyle f}$, embora o seu domínio não seja, em geral, o conjunto ${displaystyle Y}$.

A função inversa de uma função real de uma variável real[editar | editar código-fonte]

Seja ${displaystyle f:mathbb {R} o mathbb {R} }$ uma função bijetiva definida por ${displaystyle y=f(x)}$. Resolvendo ${displaystyle y=f(x)}$ para ${displaystyle x}$ em função de ${displaystyle y}$, temos determinado uma função ${displaystyle x=g(y)}$. Esta função é a função inversa de ${displaystyle f}$, i.e. ${displaystyle g=f^{-1}}$.^[2]

Exemplo:

Para determinarmos a inversa da função ${displaystyle f(x)=x+1}$ podemos proceder da seguinte forma:

1. ${displaystyle f(x)=x+1}$
2. ${displaystyle y=x+1}$
3. ${displaystyle x=y+1}$
4. ${displaystyle y=x-1}$
5. Portanto, ${displaystyle f^{-1}(x)=x-1}$

Inversa à direita ou à esquerda[editar | editar código-fonte]

Dadas as funções ${displaystyle f:A o B}$ e ${displaystyle g:B o A}$, diremos que ${displaystyle g}$ é função inversa à esquerda de ${displaystyle f}$quando a função composta ${displaystyle gcirc f=id_{A}:A o A}$ (id=função identidade), ou seja, quando ${displaystyle g(f(x))=x}$ para todo ${displaystyle x}$ pertencente ao conjunto A. Uma função ${displaystyle f}$ possui inversa à esquerda se, e somente se, for injectiva.^[3] . Por exemplo, a função ${displaystyle f:mathbb {N} o mathbb {R} }$ dada por ${displaystyle f(x)=2x}$, que é injetiva mas não sobrejetiva, tem como inversa ${displaystyle g(x)={rac {x}{2}}}$, porque a função composta ${displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))={rac {2x}{2}}=x}$ para todo ${displaystyle xin mathbb {N} }$, a qual é a função identidade.

Dadas as funções g:B→A e f:A→B e , diremos que g é uma inversa à direita de f quando a função composta f O g = idB:B→B, ou seja, quando f(g(x)) = x para todo y pertencente ao conjunto B. Uma função f possui inversa à direita se, e somente se, for sobrejetiva.^[3]

Referências

Ver também[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Livros e manuais no Wikilivros